你不必重新發現世界：自學如何借用前人的思考

自學最費力的時候，未必是看不懂書上的字。更令人困惑的是，每個字都懂，每一步似乎也跟得上，合起來卻不知道作者為什麼要這樣做。把書闔上，只記得幾個名詞；換一道題目，又得翻回原頁。

碰到這種情況，很容易認為自己基礎太差，於是找更多解說，把同一個定義再讀幾遍。但有時候，缺的恰好是定義之前的那一段：原來遇到了什麼麻煩，舊方法為何不夠，以及這個看來突兀的觀念，究竟替誰解決過什麼。

我想談的自學方法，就從這裡開始。面對人類已經累積下來的知識，我們可以借用的不只有結論，還有別人走向結論的理由。那些理由未必完整留在課本裡，卻可能是初學者最需要的入口。

課本從哪裡開始，並非小事

「我懂了」可以指很多事。能照著範例做，能向別人解釋，能在條件改變之後判斷原來的方法還適不適用，都算某種理解，卻不是同一種能力。學習的目的不同，需要走到的地方也不同。只想把眼前的工作做好，未必得先掌握整門學問的根基。

不過，有一種落差值得留意：我知道規則，卻看不出為什麼值得訂這條規則。

定義與公式是前人整理過的成果。為了讓後來的人查閱、使用、檢查，許多猶疑和失敗會被省略，互相糾纏的問題也會重新排列。成品因此清楚了，初學者卻未必知道從哪裡進去。對作者而言不必再說的事，對讀者而言，可能正是缺掉的一步。

一份軟體功能的使用文件，就可能出現這種落差。文件會告訴你：交進什麼資料，會得到什麼結果，哪些情況算錯誤。這對使用與協作不可或缺。但若你還不知道這項功能要處理什麼工作，再精確的規格也可能只是陌生名詞的清單。先看一次它怎樣解決問題，再回頭讀文件，同樣幾行字便有了用處。

我願意把知識整理看成一種壓縮，但這裡得說清楚：壓縮不一定丟失資訊，一份嚴密的表述也不必然少了數學內容。被省掉的往往是引導讀者的線索。兩段文字可以表達同樣的關係，卻要求讀者付出很不一樣的理解成本。

這個差別，在那些一開始顯得「莫名其妙」的概念上尤其明顯。

一個看起來不該存在的數

第一次接觸虛數，常見的起點是一條規則：有個數叫 i，它的平方等於 −1。

疑問也立刻跟著來。以前學過的實數，不管正負，平方都不會小於零，現在怎麼忽然可以了？若想從日常物品裡找一個對應，更不容易：一個蘋果可以數，半個蘋果可以切，i 個蘋果要放在哪裡？

先把這個疑問留著，看看十六世紀的一道題目：

x³ = 15x + 4

左邊的 x³，是把三個 x 相乘；右邊則是 x 的十五倍再加四。我們要找能讓兩邊相等的 x。試一下 4 就知道，兩邊都是 64。答案明明可以是熟悉的數，當時已有的三次方程求解公式，在算這一題時，卻會出現「−121 的平方根」。¹

已知答案就在那裡，一條通向它的計算途徑卻走不下去。對試圖理解這條公式的人而言，這比單純算不出來更難忽略。

拉斐爾・邦貝利（Rafael Bombelli）在 1572 年出版的《代數》中，系統地處理這類量的運算。用今天的記號來重述，先讓 i² = −1，便能用 11i 表示 −121 的一個平方根。那套公式接著要求：找出兩個數，使它們的立方分別等於 2 + 11i 和 2 − 11i，再將這兩個數相加。

依照新的規則展開乘法，恰好得到：

(2 + i)³ = 2 + 11i

(2 − i)³ = 2 − 11i

於是，公式需要的那兩個數，可以配成 2 + i 和 2 − i；加起來，i 消去了，剩下的正是 4。

讀到這裡，即使還不會自己展開計算，也已經能辨認那個困境：題目有普通的答案，計算途中卻需要容納一種新的數。允許它進來，訂清楚運算規則，原來中斷的計算便有機會繼續。

這並未回答虛數的一切問題，也沒有憑一個成功算例證明整套數學。它先回答了初學者很需要的一件事：為什麼有人願意認真看待這種東西。接著再學運算、證明與幾何表示，至少知道自己正在補足什麼。

我在意的正是這個次序。抽象概念不見得要先找到一個可以摸到的物體，才開始有意義。有時候，看見它保存了哪些關係，允許我們做哪些事，已經足以讓理解往前走。

嚴格的定義也有它要解決的麻煩

不過，只看見方法能用，還不夠。微積分處理的問題之一，是如何知道物體在某一瞬間的速度。我們會用一段時間內移動的距離，除以花費的時間，算出平均速度；但「這一段」再短，也還不是「這一瞬間」。

處理這類變化的早期方法帶來許多成果，相關論證卻也受到質疑。1734 年，柏克萊在《分析者》中追問某些推導如何處理那個逐漸消失的增量：前面拿它來除，後面又讓它消失，究竟憑的是什麼？²

不用先學完整部微積分，也能聽出這個問題的分量。一個量若是零，就不能拿來作除數；若不是零，又不能只因為它很小，便說它根本不存在。算出的答案好用，仍有必要交代推理為何成立。

用現代的極限觀念，可以把問題說得更精確。以速度為例，每次計算的時間間隔都不為零；我們問的是，當間隔愈來愈短，平均速度是否趨近一個確定的值。這與直接拿零來除，是兩回事。初學者若只看到正式定義裡一層套一層的條件，可能以為數學家刻意把事情弄難。先知道要防止哪一種含糊，便比較看得出那些條件在做什麼。

不同時期的數學家各有論證方式，後來的基礎工作也不是一次完成；「以前全靠直覺，後來才有嚴格數學」會把這段歷史說得太簡單。我想取用的，只是其中一個可以幫助學習的轉折：方法能做出成果之後，人們還得回頭追問，它究竟允許哪些操作。

從用途進入，再回頭讀定義，並不會降低對精確的要求。相反地，當我知道少一個條件會出什麼問題，那個條件才比較容易留下來，不再只是考前要背的字。

試著理解一個人還不知道答案的時候

談到「同理」，我們通常想到感受：一個人為何傷心，為何憤怒，為何對旁人看來微不足道的事如此在意。思考也有相似的處境。某個做法看似迂迴，可能只是因為我們已經知道後來的答案，忘了當時的人手邊沒有那些工具。

教育研究中有個詞叫 epistemic empathy，這裡暫譯為「認知同理」。Jaber 等人的研究用它描述：理解並重視一個人在建構、表達、檢驗知識時的認知與情緒經驗。他們探討的是教師如何理解學生。³

我想把這個方向轉過來，作為一種自學的嘗試：讀者能否去理解提出觀念的人，當時面對的是什麼？這是我對學習方法的延伸，不是那項研究已經證實的結論。

要做這件事，不必替幾百年前的人編內心獨白。比較可靠的問法是：根據留下的材料，他在處理什麼問題？當時有哪些做法？某個選擇解決了哪個困難，又帶來什麼新問題？史料沒有交代的部分，就留下空白；為了教學重新安排的步驟，也應說明那是重建。

回到邦貝利的例子，我們不必猜他看見負數平方根時有多震驚。只要看清楚題目、公式和運算的關係，就能理解這項嘗試為什麼值得做。歷史提供了一個位置，讓今天的讀者暫時放下「這不是早就知道了嗎」的心情。

這也適用於數學之外。讀一段哲學論證時，先弄清楚作者在反對哪個主張，常比急著背下他的名言更有幫助。同一句話，用來回應不同問題，分量可能差很多。若連爭論的對象都不見了，只剩一句漂亮的結論，我們很容易替它安上一個作者從未打算回答的問題。

廣讀可以留下的，比資料更多

如果學習包含這種換位置的能力，廣讀便有了另一層價值。接觸不同領域，除了多知道一些事，也讓我們見過不同的人怎樣決定「這裡值得追問」。

程式設計讓人留意一件工作怎樣拆開，部分之間必須約定什麼。統計促使人區分看到的差異與足以支持的推論。歷史訓練提醒人追查語句的出處，以及它所處的時代。這些習慣可以帶到別處，但不會因為看過一本書，就自動變成可靠的跨領域能力。

譬如，一項工作總是遲交。借用系統設計的眼光，可以先檢查交接是否說清楚了：上一個人認為已完成的事，下一個人是否還得重做？換一種看法，又會問：所謂「總是」，究竟發生過幾次？最近接的工作是不是本來就比較難？這裡沒有哪個學科能憑一個比喻判定原因，但它們幫我們提出了不同、而且可以查證的問題。

借來的思路也會失準。人不能完全當成程式模組，幾次觀察不能冒充充分資料。跨過領域邊界時，得重新檢查哪些關係仍然成立。能聯想，是開始；能發現類比在哪裡失效，才讓這次借用變得可靠。

因此，我不會把這件事說成「同理心提高智商」。那是另一個需要證據的心理學主張。較貼近我的意思的是：理解別人的思考處境，讓我有機會學到自己原本不會採取的問法。遇到新問題時，可以試的辦法因此多了一些。

追到哪裡，就可以先停下來

讀到這裡，最實際的疑問大概是時間。如果學虛數得先讀十六世紀代數，學微積分又要追幾百年的基礎爭論，還沒開始做事，日子就用完了。

所以，我並不打算把追溯源頭變成自學的義務。許多時候，直接接受前人整理的成果很合理。先照食譜煮一頓飯，不必先懂所有食材的化學；依範例把程式跑起來，也可以早於完整掌握它的設計。能借助現成知識，是學習得以繼續的條件。

值得退一步的時候，是同一個地方反覆阻礙你：題目稍微改動，就不知道怎麼做；規則背得出來，卻分不清哪裡能用；讀了三種解釋，仍覺得那個定義像是任意規定。這時再多讀一份相似的摘要，未必能補上缺口。

我會先找這個觀念要解決的一個具體問題。若還看不出必要，再查舊方法在哪裡受限。只退到足以接上目前的學習就好，不必為了懂一頁書，先讀完一整部思想史。

停止追溯的標準，也可以很樸素：我能否說清楚它幫了什麼忙，依照現在的定義用一次，再指出一種不能照搬的情況？若做得到，就可以先往下走。哪天遇到新的障礙，再回來補。

歷史本身很雜亂，也不是最佳的教學大綱。早期記號可能難讀，有些爭論並不幫助眼前的問題。好的教材可以直接告訴我們前人找了很久才得到的答案，同時保留一兩個必要的轉折。這樣的引導並不妨礙理解；省下無益的摸索，反而讓人有餘力認真檢查那些重要的步驟。

別只請 AI 再解釋一次

自學者可以用搜尋引擎找這些線索，也可以請 AI 協助整理。但如果只問「請用簡單的方式解釋」，很可能得到一份語氣更親切、缺口卻完全相同的摘要。

問法可以再具體一點。以下這段，把正在學的主題填進去便能使用：

我正在學＿＿，目前能跟著範例做，但不明白為什麼需要這個概念。請先選一個我能理解的問題，說明不使用它時可以怎麼做、會遇到什麼限制，再引入這個概念，最後回到現在通用的定義。請交代例子需要哪些先備知識。若涉及歷史，附上可查核的來源，分清史料記載與為了教學安排的重建；不知道的部分不要補成故事。最後給我一道條件稍有變化的題目，先不要公布答案。

這樣問，是請它幫忙安排進入問題的順序。回答裡的年代、人物和引文仍得查核，推導也得自己檢查。敘事愈順暢，有時愈容易讓人忘記：我們只是聽見了一個說得通的版本。

而最後那道題目，值得真的停下來做。看別人推理時，每一步都有前一步提示；自己動手，才會發現哪一段其實接不起來。

以剛才的 i 為例，若已學過括號乘法，可以換個式子，試算 (3 + i)²，並交代每一項從哪裡來。若目前只是想掌握概念，也可以先用自己的話說明：為何「實數裡找不到」不足以單獨否定擴充數系？接著再查，這種擴充怎樣保留原有的運算。不同目標有不同的練習，但都需要有一小段，不能靠照抄原文完成。

還有一道界線不能省略。理解一個人為何提出某個主張，不等於那個主張成立。數學仍須證明，關於世界的說法仍須證據。即使只是在學既有知識，也要辨認什麼是已證明的結果、什麼是近似、什麼還有爭議。前人的處境可以幫我讀懂他，不能代替我判斷他。

帶著借來的工具回來

我喜歡這種學法，也因為它讓「讀不懂」多了一種解釋。當然，可能是基礎不足，可能是還沒花夠時間；但也可能，作者已經站在問題解決之後，而讀者還不知道問題在哪裡。這時補上一段來由，比再添幾個術語有用。

在《所見非全貌》裡，我用「保留、組合、回返」討論理解如何形成與修正。放到自學上，它們可以很具體：先接受一份可用的說明，讓新概念與已有的經驗接起來；遇到接不上的地方，再回頭檢查原先省略了什麼。需要調整的，有時是內容，有時是進入內容的次序。

人類能把公式、證明、文字和圖留下來，已經替後來的人省掉許多年月。我們也可以再多借一點：看看這些成果曾經回答什麼問題，讓一條陌生的規則重新有了理由。借到之後，仍要帶回自己的題目裡試用，看看它能走多遠。

下次讀到一個怎樣也吞不下去的定義，可以先在旁邊寫下：「如果沒有它，我會在哪裡遇到麻煩？」找到一個足夠清楚的例子，再回來讀這一頁。有時，並不需要更多解釋，只需要讓原來的解釋有一個落腳的地方。

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延伸閱讀：《所見非全貌：理解、行動與修正的二階哲學》。本文可獨立閱讀，不需要先讀過全書。

1. 邦貝利的生平、1572 年《代數》的出版及複數運算，可參閱 J. J. O’Connor 與 E. F. Robertson 的 MacTutor 專文。本文算例採現代記號重述，相關計算亦見 Heinz Klaus Strick 的邦貝利專文（PDF）。這裡只展示一組相容的立方根，沒有把複數開立方當成單值運算；2 + i 和 2 − i 的乘積為 5，也滿足此公式配對所需的條件。 ↩︎

2. George Berkeley, The Analyst（1734），尤其第 XIII–XVI 節對增量消去的討論。可讀都柏林三一學院 David R. Wilkins 整理的原文。本文以現代語言說明問題，並非沿用柏克萊的全部論證，也不表示他的批判足以推翻微積分。 ↩︎

3. Lama Z. Jaber、Sherry Southerland、Felisha Dake，〈Cultivating epistemic empathy in preservice teacher education〉，Teaching and Teacher Education 72（2018），13–23，DOI: 10.1016/j.tate.2018.02.009。研究情境是師資培育；本文提出的「學習者理解觀念提出者」是方法上的延伸，並非該研究直接驗證的成效。 ↩︎